Trovrednostna logika

Do zdaj smo se ukvarjali s klasično dvovrednostno logiko. Vsaka izjava je bila ali resnična ali neresnična. Vrednost sestavljene izjave smo izračunali po pravilih definicij izjavnih povezav. V programu Hyperproof, ki po začetnih optimističnih napovedih ni nikoli zaživel v Windows okolju, je postalo možno nekoliko drugačno izračunavanje resničnostnih vrednosti. Podobno kot pri programu Svet Tarskega imamo v hyperproofu situacijo, ki bi prilagojena naši inačici, to je likom, lahko izgledala takole:

Liki so lahko trikotniki, kvadrati in petkotniki. Kaj pa so I, C in F? Velik krog pomeni, da je lik velik, ne vemo pa, katere oblike. Temu rečemo, da je situacija nepopolna. Stavek »Lik C je trikotnik.« ni ne resničen ne neresničen. Zato bomo rekli, da je njegova vrednost nedefinirana ali vprašljiva (ali nedoločena), za kar bomo uporabljali znak U (undefined). V hyperproofu nam nedoločenost pomeni pomanjkanje našega vedenja, pod krogom se namreč skriva pravi lik.

Kako bomo računali z novo vrednostjo? Kakšna je vrednost stavka: Lik D je majhen, F pa je srednje velikosti? Tokrat sta oba stavka resnična, zato je resničen njun stik (konjunkcija). Kaj pa »Lik D je trikotnik in I petkotnik«? Tokrat je drugi del nedefiniran, zato je tudi celota nedefinirana. Podobno je »Lik D je trikotnik ali pa je I petkotnik.« resničen, saj je resničen prvi del, drugega nam sploh ni treba gledati.

Tokrat bomo podali izračun samo za štiri izjavne povezave:

Tabela izgleda takole:

Izključujoči “ali ali” bomo obravnavali kot negacijo ekvivalence. Za negacijo velja tabela:

ØR = N, ØN = R, ØU = U.

Opomba: Prvi sistem trovrednostne logike je vpeljal poljski logik Łukasiewicz. Njegova tabela se malenkostno razlikuje od Kleenejeve pri implikaciji in ekvivalenci. Lukasiewicz je resnico označeval z 1, neresnico z 0 in nedoločeno vrednost (pri njem je „možna“) z ½. Njegova tabela je takšna:

Najenostavnejša trovrednostna logika je Bochvarjeva (l. 1939). Pri njem ima stavek srednjo vrednost, če v njem nastopa termin, ki nima reference, n.p. imamo svet Tarskega s tremi liki (A, B, C) stavek pa govori o D. Tak stavek nima pomena (oz. ni smiselen). Preglednica za to logiko izgleda takole:

Vrnimo se zdaj k našim situacijam.

V tem svetu so resnične izjave: Lik A je kvadrat ali lik D ni petkotnik. Če je lik D petkotnik, potem je C velik. Če je lik B trikotnik, potem je lik C tudi trikotnik. Dva lika sta velika.

Neresnične so na primer izjave: Lik A je trikotnik in lik D je kvadrat. Lik D je velik in je trikotnik. Ali je A trikotnik ali je B trikotnik. Samo en lik je velik.

Nedoločene so izjave: C in D sta trikotnika. B in C sta kvadrata. A je trikotnik ali pa je D trikotnik. Če je D trikotnik, potem je tudi C trikotnik. Če je D trikotnik, potem je A petkotnik. Vsi liki so kvadrati. Obstaja vsaj en trikotnik.

Oba omenjena sistema trovrednostne logike sta razširitvi klasične dvovrednostne logike v smislu, da če zbrišemo vrstice z U, dobimo klasične tabele.

Naloge

1. Ugotovi resničnostno vrednost danih stavkov, podanih v 2 svetovih

1. Lik B je srednje velikosti.

2. Lik B je kvadrat.

3. Lik A je bel.

4. Lik C je petkotnik.

5. Lik A je velik.

6. Lik C je kvadrat.

7. Lik C je trikotnik.

8. Lik C je majhen.

9. Lik B je velik.

10. Lik C je siv.

11. Lik B je kvadrat, če in samo če lik A ni srednje velikosti.

12. Lik C ni majhen ali lik A ni velik.

13. Ali lik C ni trikotnik ali lik B ni kvadrat.

14. Lik B je trikotnik, če in samo če lik C ni majhen.

15. Ali lik C ni srednje velikosti ali lik C ni trikotnik.

16. Lik B ni kvadrat, če in samo če je lik B bel.

17. Lik B je srednje velikosti, če in samo če je lik B siv.

18. Če lik A ni bel, potem lik C ni bel.

19. Če lik B ni kvadrat, potem lik C ni bel.

20. Lik B ni kvadrat in lik B je bel.

2. Ugotovi resničnostno vrednost danih stavkov, podanih v 2 svetovih

1. Lik C ni bel, če in samo če lik A ni kvadrat.

2. Lik A je siv ali je lik A petkotnik.

3. Lik A je trikotnik in lik A ni petkotnik.

4. Lik A ni trikotnik in lik B je srednje velikosti.

5. Lik B je kvadrat in lik B ni petkotnik.

6. Lik C ni bel ali lik A ni trikotnik.

7. Ni res, da: ali je lik C siv ali je lik B kvadrat.

8. Ni res, da: ali lik C ni trikotnik ali lik C ni petkotnik.

9. Ni res, da: lik B je kvadrat in lik C je majhen.

10. Obstaja tak x, da za vsak y velja: lik x je desno od y.

11. Obstaja tak x, da za vsak y velja: lik x je nad y.

12. Obstaja tak x, da za vsak y velja: lik x je nad y.

13. Za vsak x obstaja tak y, da velja: lik x je majhen in lik y je velik.

14. Za vsak x obstaja tak y, da velja: lik x je petkotnik, če in samo če lik y ni siv.

15. Za vsak x obstaja tak y, da velja: lik x ni trikotnik in lik y je srednje velikosti.

16. Obstaja tak x, da za vsak y velja: lik x ni bel, če in samo če je lik y srednje velikosti.

17. Obstaja tak x, da za vsak y velja: če lik x ni velik, potem je lik y majhen.

18. Obstaja tak trikotnik x, da za vsak bel lik y velja: lik x je pod y.

19. Obstaja tak bel lik x, da za vsak bel lik y velja: lik x je pod y.

20. Za vsak siv lik x obstaja tak kvadrat y, da za vsak bel lik z velja: lik x je desno od y in lik y je manjši kot z.

Rešitve so na strani 48!

Zdenka Oven